Question

設集合A⊆R，對任意a、b、c∈A，運算“⊕具有如下性質：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
給出下列命題：
①0∈A
②若1∈A，則（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，則a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，則a=c．
其中正確命題的序號是________ （把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

解：①由（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0，0∈A，故①正確；
②由（2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，則（1⊕1）⊕1=1，故②不正確；
③當a=0時，若a∈A，且a⊕0=a，則a=0顯然成立，當a≠0時，若若a∈A，且a⊕0=a，則在（3）中令c=0，發現此時（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c無意義，故a=0，③正確；
④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正確；
綜上①③④正確
故答案為①③④
分析：根據定義中所給的規則（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c，對四個命題逐一進行驗證，得出正確命題．
點評：本題考查元素與集合關系的判斷，正確解答本題，關鍵是掌握并理解新定義中所給的規則，以及靈活選用規則判斷命題是否正確．本題比較抽象，應好好總結做題規律．