Question

設集合A⊆R，如果x₀∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合A的一個聚點，則在下列集合中：（1）z⁺∪z^-；（2）R⁺∪R^-；（3）{x|x=

1

n

，n∈N*}；（4）{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，以0為聚點的集合有

（2）（3）

（寫出所有你認為正確的結論的序號）．

Answer 1

分析：根據集合聚點的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

解答：解：（1）對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z⁺∪Z^-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是Z⁺∪Z^-的聚點；
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

（實際上任意比a小得數都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點；
（3）集合{x|x=

1

n

，n∈N*}中的元素是極限為0的數列，對于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a，
∴0是集合{x|x=

1

n

，n∈N*}的聚點．
（4）中，集合{x|x=

n

n+1

，n∈N*}中的元素是極限為1的數列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈N*}的聚點．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵．