Question

如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

Answer 1

(1) (2)證明過程詳見解析

解析試題分析：
(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF₂的周長即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對稱性,可以得到為正三角形當且僅當A點在橢圓的短軸端點,此時,則可得到c的值,再根據a,c,b之間的關系可得到b的值,進而得到橢圓E的方程.
(2)據題意,直線l與橢圓E相切于點P.設出點P的坐標,利用直線與橢圓相切,聯立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點P的坐標表示直線l的斜率,即得到直線l關于P坐標的表達式.聯立直線l與直線x=4即可求出點Q的坐標,把P,Q的坐標帶入內積式,證得即可.
試題解析：
(1)由題得,因為點A,B都在橢圓上,所以根據橢圓的定義有且,又因為 的周長為8,所以
, 因為橢圓是關于x,y,原點對稱的,所以為正三角形當且僅當為橢圓的短軸定點,則,,故橢圓E的方程為.
(2)由題得,動直線l為橢圓的切線,故不妨設切點,因為直線l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯立直線l與直線得到點,則
,所以,即點M在以PQ為直徑的圓上.
考點：橢圓 切線 內積 圓