Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為的中點，，且

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）以D為坐標原點，射線DA，DC，DP分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標系則D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）（0，1，0）P（0，0，）
所以（，0，），，∵·=0，所以MC⊥BD（2）

試題分析：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如圖，以D為坐標原點，
射線DA，DC，DP分別為
軸、軸、軸
正半軸建立空間直角坐標系    4分
則D（0，0，0），A（，0，0），
B（，1，0）（0，1，0），
P（0，0，）     6分
所以（，0，），，  7分∵·=0，所以MC⊥BD          7分
（2）解：因為ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，       9分
由已知，所以平面PBD的法向量  10分
M為等腰直角三角形PAD斜邊中點，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，          11分
所以平面PAB的法向量（-，0，）      12分
設二面角A—PB—D的平面角為θ，
則.
所以，二面角A—PB—D的余弦值為.        15分
點評：本題中充分利用DA，DC，DP兩兩垂直建立空間直角坐標系，將證明兩線垂直轉化為兩直線的法向量垂直，將求二面角轉化為求兩個平面的法向量的夾角