Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線交橢圓于M，N兩點．已知橢圓的短軸長為，離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當直線MN的斜率為時，求的值；

（3）若以MN為直徑的圓與x軸相交的右交點為P(t，0)，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】

（1）設焦距2c，由題得到關于的方程組，解方程組即得解；

（2）先求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式得解；

（3）先討論當直線MN斜率不存在時，；再討論直線斜率存在的情況,聯立直線和橢圓方程得到韋達定理，再根據得到，解不等式組綜合即得解.

解：（1）設焦距2c，，，

故橢圓的標準方程為：；

（2）由（1）知，c＝2，則F2(2，0)

或

即，或，

因此，；

（3）當直線MN斜率不存在時，MN：x＝2，＝，

以MN為直徑的圓方程為：,

其與x軸相交的右交點為(，0)，即；

當MN的斜率存在時，設MN：，M(，)，N(，)

所以，

，，

則，

因為P在以MN為直徑的圓上，則，

所以

所以

所以

所以，

因為，

所以.

∵P是右交點，故t＞2，

因此，

解得．

綜合得.