Question

已知實數a滿足0＜a≤2，a≠1，設函數f （x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（1）當a=2時，求f （x）的極小值；
（2）若函數g（x）=x³+bx²-（2b+4）x+ln x （b∈R）的極小值點與f （x）的極小值點相同．
求證：g（x）的極大值小于等于

5

4

．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，利用導數畫出表格，求出函數的極值
（2）根據f（x）的極值求出函數g（x）關系式從而證明函數g（x）的極大值小于

5

4

解答：解：（Ⅰ）解：當a=2時，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，f（x）的極小值為f（2）=

2

3

．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）解：f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x²+2bx-（2b+4）+

1

x

=

(x-1)[3x2+(2b+3)x-1]

x

．
令p（x）=3x²+（2b+3）x-1，
（1）當1＜a≤2時，
f（x）的極小值點x=a，則g（x）的極小值點也為x=a，
所以p（a）=0，
即3a²+（2b+3）a-1=0，
即b=

1-3a2-3a

2a

，
此時g（x）_極大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+

3a2+3a-1

2a

=

3

2

a-

1

2a

-

3

2

．
由于1＜a≤2，
故

3

2

a-

1

2a

-

3

2

≤

3

2

   x2-

1

4

-

3

2

=

5

4

．（10分）
（2）當0＜a＜1時，
f（x）的極小值點x=1，則g（x）的極小值點為x=1，
由于p（x）=0有一正一負兩實根，不妨設x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-

5

2

．
此時g（x）的極大值點x=x₁，
有g（x₁）=x₁³+bx₁²-（2b+4）x₁+lnx₁
＜1+bx₁²-（2b+4）x₁
=（x₁²-2x₁）b-4x₁+1　（x₁²-2x₁＜0）
＜-

5

2

（x₁²-2x₁）-4x₁+1
=-

5

2

x₁²+x₁+1
=-

5

2

（x₁-

1

5

）²+1+

1

10

（0＜x₁＜1）
≤

11

10

，＜

5

4

．
綜上所述，g（x）的極大值小于等于

5

4

．（14分）

點評：本題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值