Question

某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C（x），當年產量不足80千件時，C（x）=x²+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時，C（x）=51x+-1450（萬元），通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠當年生產的該產品能全部銷售完。
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一產品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）當0＜x＜80（x∈N）時，L（x）=-250
=-x²+40x-250，
當x≥80（x∈N）時，L（x）=，
∴L（x）=；
（2）當0＜x＜80，x∈N*時，L（x）=-（x-60）²+950，
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950；
當x≥80，x∈N*時，
∵L（x）=120-≤1200-2=1200-200=1000，
∴當且僅當x=，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000>950，
綜上所述，當x=100時，L（x）取得最大值1000，即年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大。