Question

某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C（x），當年產量不足80千件時，C(x)=

1

3

x2+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時，C(x)=51x+

10000

x

-1450（萬元）．現已知此商品每件售價為500元，且該廠年內生產此商品能全部銷售完．
（1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本分0＜x＜80和當x≥80兩種情況得到L與x的分段函數關系式；
（2）當0＜x＜80時根據二次函數求最大值的方法來求L的最大值，當x≥80時，利用基本不等式來求L的最大值．

解答：解：（1）當0＜x＜80，x∈N^*時，
L(x)=

500×1000x

10000

-

1

3

x2-10x-250=-

1

3

x2+40x-250
當x≥80，x∈N*時，L（x）=

500×1000x

10000

-51x-

10000

x

+1450-250=1200-（x+

10000

x

）
∴L(x)=

- 1 3 x2+40x-250，(0＜x＜80，x∈N*) 1200-(x+ 10000 x )，(x≥80，x∈N*)

．
（2）當0＜x＜80，x∈N*時，L(x)=-

1

3

(x-60)2+950，
當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950
當x≥80，x∈N，∵L(x)=1200-(x+

10000

x

)≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
∴當x=

10000

x

，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．
綜上所述，當x=100時L（x）取得最大值1000，即年產量為100千件時，
該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大．

點評：考查學生根據實際問題選擇合適的函數類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．