Question

已知函數.
（1）求函數在上的最小值；
（2）若函數有兩個不同的極值點、且，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數在上的單調區間，并求出相應的極小值點，然后就極小值點是否在區間內進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，從而求出最小值；（2）將函數在定義域上有兩個極值點等價轉化為導函數方程在定義域上有兩個不等的實根，借助參數分離法先求出當函數有兩個極值點時，的取值范圍，然后求出當時的取值，利用圖象的特點即可以得到當時，參數的取值范圍.
試題解析：（1），所以，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

①當時，即當時，則函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，
故函數在處取得極小值，亦即最小值，即；
②當時，函數在區間上單調遞增，此時函數在處取得最小值，
即，
綜上所述；
（2），所以，
函數有兩個極值點、，
等價于方程有兩個不等的正實根，
令，則，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，
由圖象知，當時，方程有兩個不相等的正實根、，
考查當時，的取值，
由題意知，兩式相減得，所以，
故，所以，，所以，
此時，
故當的取值范圍是時，.