Question

（2012•浦東新區三模）如圖，弧AEC是半徑為r的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，線段ED與弧EC交于點G，且EG=

2

3

GD，平面AEC外一點F滿足FC⊥平面BED，FC=2r．
（1）證明：EB⊥FD；
（2）將△FCG（及其內部）繞FC所在直線旋轉一周形成一幾何體，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）由圓周角的性質可得EB⊥AD，由線面垂直的性質可得EB⊥FC，結合線面垂直的判定可得EB⊥平面FBD，進而可得EB⊥FD；
（2）如圖所示建立空間直角坐標系，可得C（0，0，0），B（0，-r，0），E（r，-r，0），D（0，r，0），G（

3r

5

，-

1

5

r，0），由圓錐的條件公式可得．

解答：解：（1）∵AC為直徑，點E為弧AC的中點，∴∠ABE=90°，即EB⊥AD，
又FC⊥平面BED，EB平面?BED，∴EB⊥FC，又AD∩FC=C，
∴EB⊥平面FBD，FD?平面FBD，∴EB⊥FD
（2）如圖所示建立空間直角坐標系，
可得C（0，0，0），B（0，-r，0），E（r，-r，0），D（0，r，0），設G（x，y，0），
則由EG=

2

3

GD，可得x=

3r

5

，y=-

1

5

r，∴G的坐標為（

3r

5

，-

1

5

r，0），
則|CG|2=(

3r

5

)2+(-

1

5

r)2+02=

2

5

r2，由題意可知所得的幾何體為圓錐，
其底面積為π|CG|²=

2

5

πr2，高FC=2r，
所以該圓錐的條件為V=

1

3

×

2

5

πr2×2r=

4

15

πr3

點評：本題考查平面與平面垂直的性質，涉及幾何體條件的求解，屬中檔題．