Question

設F₁、F₂是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P為直線x=

3a

2

上一點，△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為

3

4

．

Answer 1

分析：利用△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形，可得|PF₂|=|F₂F₁|，根據P為直線x=

3a

2

上一點建立方程，由此可求橢圓的離心率．

解答：解：設x=

3a

2

交x軸于點M，
∵△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形
∴∠PF₂F₁=120°，|PF₂|=|F₂F₁|，且|PF₂|=2|F₂M|
∵P為直線x=

3a

2

上一點，
∴2（

3a

2

-c）=2c，解之得3a=4c
∴橢圓E的離心率為e=

c

a

=

3

4

故答案為：

3

4

點評：本題給出與橢圓有關的等腰三角形，在已知三角形形狀的情況下求橢圓的離心率．著重考查橢圓的幾何性質，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，屬于基礎題．