Question

設F₁、F₂是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P為直線x=-

3

2

a上一點，△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  5

Answer 1

分析：由△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形，得|PF₁|=|F₁F₂|且∠PF₁F₂=120°，設x=-

3

2

a交x軸于點M，可得|PF₁|=2|F₁M|，由此建立關于a、c的等式，解之即可求得橢圓E的離心率．

解答：解：設x=-

3

2

a交x軸于點M，
∵△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形
∴∠PF₁F₂=120°，|PF₁|=|F₂F₁|，且|PF₁|=2|F₁M|．
∵P為直線x=-

3

2

a上一點，
∴2（-c+

3a

2

）=2c，解之得3a=4c
∴橢圓E的離心率為e=

c

a

=

3

4

故選：C

點評：本題給出與橢圓有關的等腰三角形，在已知三角形形狀的情況下求橢圓的離心率．著重考查橢圓的幾何性質，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，屬于基礎題．