Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數的單調區間；

（2）對一切， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）遞增區間是，遞減區間是；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導數的不等式，即可求解函數的單調區間；

（2）問題可化為對一切恒成立，令，根據函數的單調性求出的最小值，從而求出的取值范圍即可；

（3）問題等價于，即證，令，根據函數的單調性即可作出證明.

試題解析：

（1），得由，得

∴的遞增區間是，遞減區間是

（2）對一切， 恒成立，

可化為對一切恒成立.

令， ，

當時， ，即在遞減

當時， ，即在遞增，∴，

∴，即實數的取值范圍是

（3）證明： 等價于，即證

由（1）知，（當時取等號）

令，則，易知在遞減，在遞增

∴（當時取等號）∴對一切都成立

則對一切，都有成立.