Question

【題目】已知，函數.

（1）討論的單調性；

（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）已知當時，函數有兩個零點，，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) （3）見解析

【解析】

試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）分兩種情況討論，當，利用一次函數的性質求解，當時， ，設，只需令即可；（3）由，原不等式轉化為證明，∵，∴，所以的兩個零點，利用導數研究函數的單調性，只需證明只需證 即可得結論.

試題解析：（（1），∴，

當時，在上單調遞增，

當時，考慮時，令 ，

①時，在單調遞減，在單調遞增；

②時，在單調遞減，在單調遞增.

（2）方法一：（參變分離）

，

當時，，

∴ .

當時， ，

設，∴ ，

∴在單調遞減，

∴，∴，

綜上所述：.

方法二：（最值法）

若，只需，，

由（1）可得：

①當時，在上單調遞增，

∴即可，解得：，

∴.

②當時，在單調遞減，在單調遞增，

∴，

∴，

③時，在單調遞減，在單調遞增，

∴，

即，令，

設，則，

∴在單調遞減，

而，所以原不等式無解.

（此處也不構造函數，，顯然時，此式小于零，即可證明）

綜上所述：.

（3）注意到，所以所證明不等式轉化為證明，

∵，∴，

所以的兩個零點.

方法一：

由可得：，

∴，∴，

令，則，

令，，則當時，

，

∴在單調遞減，∴，即，

∴在單調遞減，，即，

∵時，在均單調遞減，

∴.

方法二：同方法一可知，下面考慮證明，

∴，

下證：，∵，

所以只需證，由，

所以只需證 ，

令，，

∴，，，

∴在單調遞減，

∴，

∴在單調遞減，∴，

∴ ，

所以得證，

∵時，在均單調遞減，

∴.