Question

若關于x的方程a^x+2x-4=0（a＞0且a≠1）的所有根記作x₁，x₂，…，x_m（m∈N^*），關于x的方程log_a^2x+x-2=0的所有根記作x₁′，x₂′，…，x_n′（n∈N^*），則

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

的值為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：本題可以用特殊值法解答，我們令a=2，根據方程根的個數等于對應函數零點的個數，我們易用圖象法求出滿足條件的x₁，x₂，…，x_m及m的值與x₁′，x₂′，…，x_n′與n的值，代入則

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

即可得到結果．

解答：解：令a=2，
則y=a^x為增函數，y=-2x+4為減函數，

由圖可得兩個函數的畫像只有一個交點（1，2）點
則方程a^x+2x-4=0有且只有一個實根1，即x₁=1，m=1
又由y=log_a^2x=log_a^x+1也為增函數，y=-x+2也為減函數

由圖可得兩個函數的畫像只有一個交點（1，1）點
則方程a^x+2x-4=0有且只有一個實根1，即x₁′=1，n=1
此時

x1+x2+…+xm+ x ′ 1 + x ′ 2 +…+ x ′ n

m+n

=

1+1

1+1

=1
故選：C

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，對于選擇題我們可采用特殊值代法簡化我們的解題過程．