Question

牧場中羊群的最大養殖量為m，為了保證羊群的生長空間，實際養殖量x小于m，以便留出適當的空閑量m-x．已知羊群的年增長量y與“實際養殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養殖量的比值）的乘積”成正比，比例系數為k（k＞0）．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數關系式，并指出該函數的定義域；
（Ⅱ）求羊群年增長量的最大值；
（Ⅲ）當羊群年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，空閑率為
∴，x∈（0，m）…
（Ⅱ），x∈（0，m）…
因為函數在上是增函數，在上是減函數．
所以當時，，所以羊群年增長量的最大值為．…
（Ⅲ）由題意知…
得0＜k≤2…
答：當羊群年增長量達到最大值時，k的取值范圍為0＜k≤2．…
分析：（I）由羊群的年增長量y與“實際養殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養殖量的比值）的乘積”成正比，比例系數為k（k＞0），我們根據題意求出空閑率，即可得到y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
（II）由（I）中給出的y關于x的函數關系式，我們使用配方法，易分析出羊群年增長量的最大值；
（Ⅲ）由題意知，解不等式，即可得到結論．
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．