Question

牧場中羊群的最大養殖量為m，為了保證羊群的生長空間，實際養殖量x小于m，以便留出適當的空閑量m-x．已知羊群的年增長量y與“實際養殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養殖量的比值）的乘積”成正比，比例系數為k（k＞0）．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數關系式，并指出該函數的定義域；
（Ⅱ）求羊群年增長量的最大值；
（Ⅲ）當羊群年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，空閑率為

m-x

m

∴y=kx

m-x

m

=

k

m

x(m-x)，x∈（0，m）…（4分）
（Ⅱ）y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，x∈（0，m）…（6分）
因為函數y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

在(0，

m

2

)上是增函數，在(

m

2

，m)上是減函數．
所以當x=

m

2

時，ymax=

km

4

，所以羊群年增長量的最大值為ymax=

km

4

．…（8分）
（Ⅲ）由題意知

m

2

+

km

4

≤m…（10分）
得0＜k≤2…（11分）
答：當羊群年增長量達到最大值時，k的取值范圍為0＜k≤2．…（12分）