Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足，且.
（1）試求出的值；
（2）根據(jù)的值猜想出關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1），，；（2）猜想：，證明詳見解析.

試題分析：本試題主要考查數(shù)列的前項(xiàng)的求解和數(shù)學(xué)歸納法的綜合運(yùn)用.(1)運(yùn)用賦值的思想得出；（2）先由求出的幾項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，猜想的表達(dá)式，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來分兩步證明，注意證明要用到假設(shè).
（1）依條件可知
而當(dāng)時(shí)有
所以，       3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052838414652.png" style="vertical-align:middle;" />，，，故可猜想     5分
①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，故等式成立           7分
②假設(shè)時(shí)，成立，即                 8分
則當(dāng)時(shí)，
左邊右邊
所以當(dāng)時(shí)，等式也成立         11分
由①②可知，對，等式成立           12分.