Question

16、已知變量x，y滿足約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目標函數z=ax+y（其中a＞0）僅在點（3，1）處取得最大值，則a的取值范圍為

a＞1

．

Answer 1

分析：本題主要考察線性規劃的基本知識，先畫出約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2的可行域，再由目標函數z=ax+y（其中a＞0）僅在點（3，1）處取得最大值，我們不難分析直線斜率的取值范圍．

解答：解：已知變量x，y滿足約束條件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．
在坐標系中畫出可行域，
如圖為四邊形ABCD，其中A（3，1），
k_AD=1，k_AB=-1，
目標函數z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率為-a的直線系中的截距的大小，
若僅在點（3，1）處取得最大值，
則斜率應小于k_AB=-1，
即-a＜-1，
所以a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，若目標函數z=ax+y只在點A處取得最優解，則過點A線z=ax+y與可行域只有一個交點，由此不難給出直線斜率-a的范圍，進一步給出a的范圍，但在蟹題時要注意，區分目標函數是取最大值，還是最小值，這也是這種題型最容易出錯的地方．