Question

【題目】如圖（1），五邊形中， .如圖（2），將沿折到的位置，得到四棱錐.點為線段的中點，且平面．

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角的正切值為，設，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）要證明面面垂直，一般先證線面垂直，題中已知平面，由于是的中點，只要取的中點，可證，從而得平面，因此就得到面面垂直；

（2）由（1）的垂直可證是等邊三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，這樣可求得圖形中各線段長，可得四棱錐的底面積和高，得體積．

試題解析：

（1）證明：取的中點，連接，則，

又，所以，

則四邊形為平行四邊形，所以，

又平面，

∴平面，

∴平面平面PCD；

（2）取的中點，連接，

因為平面，

∴.

由即及為的中點，可得為等邊三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

所以

所以.

，∴為直線與所成的角，

由（1）可得，∴，∴，

由，可知，

則.

其他方法酌情給分