Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點(2，4)，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】42

【解析】

設拋物線的標準方程，將點代入拋物線方程，求得拋物線方程，由拋物線的焦點弦性質，求得，根據拋物線的性質及基本不等式，即可求得答案．

設拋物線的方程：y2＝2px（p＞0），則16＝2p×2，則2p＝8，

∴拋物線的標準方程：y2＝8x，焦點坐標F（2，0），

由直線PQ過拋物線的焦點，則，

圓C2：（x﹣2）2+y2＝1圓心為（2，0），半徑1，

|PN|+9|QM|＝|PF|+1+9（|QF|+1）

＝|PF|+9|QF|+10＝2（|PF|+9|QF|）×（）+10

＝2（10）+10≥2（10+2）+10＝42，

∴|PN|+9|QM|的最小值為42，

故答案為42．