Question

(本題滿分14分)
如圖1，在平面內，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D``與D`重合于點D₁ .設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側（圖2）．
  
(Ⅰ) 設二面角E – AC – D₁的大小為q，若£q£，求線段BE長的取值范圍；
(Ⅱ)在線段上存在點，使平面平面，求與BE之間滿足的關系式，并證明：當0 < BE < a時，恒有< 1．

Answer 1

（方法1）設菱形的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x,y軸，建立空間直角坐標系如圖1．設BE =" t" （t > 0）．

（Ⅰ）

設平面的法向量為，則
        3分
設平面的法向量為，
則     4分
設二面角的大小為，則，   6分
∵cosqÎ，  ∴ ，    
解得£ t £． 所以BE的取值范圍是 [，]．    8分
(Ⅱ) 設，則

由平面平面，得平面，
,化簡得：(t ¹a)，即所求關系式：（BE ¹a).
∴當0< t < a時，< 1. 即：當0 < BE < a時，恒有< 1．       14分
（方法2）
（Ⅰ）如圖2，連接D₁A，D₁C，EA，EC，D₁O，EO，

∵ D₁A= D₁C，所以，D₁O⊥AC，同理，EO⊥AC，
∴是二面角的平面角．設其為q．        3分
連接D₁E，在△OD₁E中，設BE =" t" （t > 0）則有：
OD₁ = ，OE = ，D₁E = ，
∴ .                                  6分
∵cosqÎ，  ∴ ，    
解得£ t £． 所以BE的取值范圍是 [，]．
所以當條件滿足時，£ BE £．                 8分
（Ⅱ）當點E在平面A₁D₁C₁上方時，連接A₁C₁，則A₁C₁∥AC，

連接EA₁，EC₁，設A₁C₁的中點為O₁，則O₁在平面BDD₁內，過O₁作O₁P∥OE交D₁E于點P，則平面平面．
作平面BDD₁如圖3．過D₁作D₁B₁∥BD交于l點B₁，設EO交D₁B₁于點Q．
因為O₁P∥OE，所以==，
由Rt△EB₁Q∽RtEBO，得，解得QB₁ = ，得=，  12分
當點E在平面A₁D₁C₁下方時，同理可得，上述結果仍然成立．       13分
∴有=（BE ¹a），∴當0 < t < a時，< 1.      14分

略