Question

（2008•和平區三模）定義一種運算*，滿足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ為非零實常數）
（1）對任意給定的k，設a_n=n*k（n=1，2…），求證數列{a_n}是等差數列，并求k=2時，該數列的前10項和；
（2）對任意給定的n，設b_k=n*k（k=1，2…），求證數列{b_k}是等比數列，并求出此時該數列前10項的和；
（3）設C_n=n*n，試求數列{C_n}的前n項和S_n，并求當λ∈（0，1）時，

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a_n=nλ^k-1，利用等差數列的定義即可判定數列{a_n}是公差為λ^k-1的等差數列，當k=2時，a_n=nλ，從而可求該數列的前10項和；
（2）b_k=n*k=nλ^k-1⇒

bk+1

bk

=λ，可知數列{b_k}是公比為λ的等比數列，分λ=1與λ≠1，利用等比數列的求和公式即可求得該數列前10項的和；
（3）依題意，可求得∴C_n=nλ^n-1，S_n=1+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，利用錯位相減法即可求得S_n．

解答：解：（1）∵a_n=n*k，又n*k=nλ^k-1，
∴a_n=nλ^k-1，
∴a_n+1=（n+1）λ^k-1，
∴a_n+1-a_n=λ^k-1（2分）
∴數列{a_n}是公差為λ^k-1的等差數列（3分）
當k=2時，a_n=nλ，
∴a₁+a₂+…+a₁₀=

10(λ+10λ)

2

=55λ（4分）
（2）∵b_k=n*k=nλ^k-1，
又λ≠0，
∴

bk+1

bk

=λ，
故數列{b_k}是公比為λ的等比數列（6分）
當λ=1時，b₁+b₂+…+b₁₀=10n，
當λ≠1時，b₁+b₂+…+b₁₀=

n(1-λ10)

1-λ

（8分）
（3）∵n*k=nλ^k-1，
∴n*n=nλ^n-1，
而C_n=n*n
∴C_n=nλ^n-1，
所以S_n=1+2λ+3λ²+…+nλ^n-1①（9分）
當λ=1時，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

（10分）
當λ≠1時，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ②（11分）
①-②得（1-λ）S_n=1+λ+λ²+λ³+…+λ^n-1-nλⁿ
=

1-λn

1-λ

-nλⁿ=

1-(n+1)λn+nλn+1

1-λ

所以S_n=

1-(n+1)λn+nλn+1

(1-λ)2

（13分）
則當λ∈（0，1）時，

lim

n→∞

Sn=

1

(1-λ)2

（14分）

點評：本題考查數列的求和，著重考查錯位相減法求和，考查極限的運算，突出轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于難題．