【題目】已知函數
，
.
（1）求
的單調區間和極值；
（2）若對于任意的
，總存在
，使得
成立，求正實數
的取值范圍.
【答案】（1）
的單調遞增區間
；單調遞減區間是
，
，極小值
，極大值
；（2）
.
【解析】
（1）求導，根據導數的正負可得函數的單調性，進而得函數的極值.
（2）對于任意的
，總存在
，使得
，顯然
，故
，設
，
，上式等價于
，分類討論求出
的取值范圍.
（1）由已知，有
.令
，解得
或
.
當
變化時，
，的變化情況如下表：
|
| 0 |
|
|
|
| - | 0 | + | 0 | - |
| 0 |
|
所以，的單調遞增區間；單調遞減區間是，.
當時，有極小值，且極小值
；
當時，有極大值，且極大值
.
（2）由
及（1）知，當
時，
；
當
時，
.設集合，
集合，
則“對于任意的，都存在，
使得”等價于，顯然
.下面分三種情況討論：
（i）當
，即
時，由
可知，
，而，
所以
不是
的子集.
（ii）當
，即
時，有
，
且此時在
上單調遞減，故
，因而
.
由
，有在
上的取值范圍包含，則
，所以.
（iii）當
，即
時，有
，且此時在上單調遞減，
故
，，所以不是的子集.
綜上的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
的底面ABCD為菱形，
，側面PAD與底面ABCD所成的角為
，
是等邊三角形，點P到平面ABCD距離為
．
（1）證明：
；
（2）求二面角
余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式．某大型超市為調查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調查結果整理如下：
20以下 | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] | 70以上 | |
使用人數 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（1）現隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；
（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；
（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環保購物袋．若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設各項均為正數的數列
的前
項和為
，已知
，且
對一切
都成立.
(1)當
時.
①求數列的通項公式；
②若
，求數列
的前項的和
；
(2)是否存在實數
，使數列是等差數列.如果存在，求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有
（n≥2，n∈N*）個給定的不同的數隨機排成一個下圖所示的三角形數陣：
設Mk是第k行中的最大數，其中1≤k≤n，k∈N*．記M1＜M2＜…＜Mn的概率為pn．
（1）求p2的值；
（2）證明：pn＞
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，△ABC的周長為8，求△ABC的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知以線段EF為直徑的圓內切于圓O：x2+y2＝16．
（1）若點F的坐標為（﹣2，0），求點E的軌跡C的方程；
（2）在（1）的條件下，軌跡C上存在點T，使得
，其中M，N為直線y＝kx+b（b≠0）與軌跡C的交點，求△MNT的面積．
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