Question

【題目】如圖，兩條相交線段、的四個端點都在橢圓上，其中直線的方程為，直線的方程為.

（1）若，，求的值；

（2）探究：是否存在常數，當變化時，恒有？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，見解析

【解析】

（1）當時，聯立方程組求得，根據，利用，列出方程，即可求解；

（2）設，由，得，利用韋達定理，結合橢圓的對稱性，分類討論，即可得到結論.

（1）由題意，當時，聯立方程組，解得，

因為，所以，

設，則，化簡得，

又由，聯立方程組，解得或.

因為平分，所以（不適合題意），所以.

（2）設，

由，整理得，

其中，

若存在常數，當變化時，恒有，

則由（1）可知只可能是，

①當時，取，等價于，

即，

即，

即，此式子恒成立，

所以存在常數，當變化時，恒有；

②當時，取，由橢圓的對稱性，同理可知結論也成立，

綜上可得，存在常數，當變化時，恒有；