Question

【題目】隨機將1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)這2n個連續正整數分成A，B兩組，每組n個數．A組最小數為a1，最大數為a2；B組最小數為b1，最大數為b2，記ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.

(1)當n＝3時，求ξ的分布列和數學期望；

(2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發生的概率P(C)；

(3)對(2)中的事件C， 表示C的對立事件，判斷P(C)和P()的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.

【解析】試題分析：（1）寫出變量的可能取值及對應的概率值，即可列出分布列，從而求得數學期望；

（2）求出總基本事件個數及滿足條件的事件個數，即可求解；

（3）寫出兩個概率，用數學歸納法求解即可。

試題解析：(1)當n＝3時，ξ的所有可能取值為2,3,4,5.

將6個正整數平均分成A、B兩組，不同的分組方法共有C＝20種，所以ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5
P

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值為：n－1，n，n＋1，…，2n－2.

又ξ和η恰好相等且等于n－1時，不同的分組方法有2種；

ξ和η恰好相等且等于n時，不同的分組方法有2種；

ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)時，不同的分組方法有2C種；

∴當n＝2時，P(C)＝＝，

當n≥3時，P(C)＝

(3)由(2)知，當n＝2時，P()＝，因此P(C)＞P()．

而當n≥3時，P(C)＜P()，理由如下：

P(C)＜P()等價于4(2＋)＜C.①

用數學歸納法來證明：

1°當n＝3時，①式左邊＝4(2＋C)＝4(2＋2)＝16，①式右邊＝C＝20，所以①式成立．

2°假設n＝m(m≥3)時①式成立，

即4(2＋)＜C成立，

那么，當n＝m＋1時，

左邊＝4(2＋)

＝4(2＋)＋4C＜C＋4C

＝＋

＝

＜

＝C·＜C＝右邊．

即當n＝m＋1時①式也成立．

綜合1°，2°得：對于n≥3的所有正整數，都有P(C)＜P()成立.