Question

（2012•泉州模擬）已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．
（Ⅰ）試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程．
（Ⅱ）是否存在過N（4，2）的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點N所平分？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點P到點F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，可得點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，從而可求拋物線方程為y²=4x；
（Ⅱ）解法一：假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，直線m的斜率存在，設直線m的方程與拋物線方程聯立，消去y，利用x1+x2=

8k2-4k+4

k2

=8，可得結論；解法二：假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，設直線m的方程與拋物線方程聯立，消去x，利用y₁+y₂=4a=4，可得結論；
解法三：假假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，利用點差法求直線的斜率，從而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）因為點P到點F的距離等于它到直線l的距離，
所以點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，…（2分）
所以方程為y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）解法一：假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依題意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
①當直線m的斜率不存在時，不合題意．…（7分）
②當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y-2=k（x-4），…（8分）
聯立方程組

y-2=k(x-4) y2=4x

，消去y，得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k）²=0，（*）   …（9分）
∴x1+x2=

8k2-4k+4

k2

=8，解得k=1．…（10分）
此時，方程（*）為x²-8x+4=0，其判別式大于零，…（11分）
∴存在滿足題設的直線m，且直線m的方程為：y-2=x-4，即x-y-2=0．…（13分）
解法二：假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依題意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
易判斷直線m不可能垂直y軸，…（7分）
∴設直線m的方程為x-4=a（y-2），…（8分）
聯立方程組

x-4=a(y-2) y2=4x

，消去x，得y²-4ay+8a-16=0，…（9分）
∵△=16（a-1）²+48＞0，∴直線與軌跡C必相交．…（10分）
又y₁+y₂=4a=4，∴a=1．…（11分）
∴存在滿足題設的直線m，且直線m的方程為：y-2=x-4即x-y-2=0．…（13分）
解法三：假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依題意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在軌跡C上，
∴有

y12=4x1…(1) y22=4x2…(2)

，將（1）-（2），得y12-y22=4(x1-x2)．…（8分）
當x₁=x₂時，弦AB的中點不是N，不合題意，…（9分）
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=1，即直線AB的斜率k=1，…（10分）
注意到點N在曲線C的張口內（或：經檢驗，直線m與軌跡C相交）…（11分）
∴存在滿足題設的直線m，且直線m的方程為：y-2=x-4即x-y-2=0．…（13分）

點評：本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想等．