Question

（2012•泉州模擬）設函數y=f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點（a，b）為函數y=f（x）圖象的對稱中心．研究并利用函數f（x）=x³-3x²-sin（πx）的對稱中心，可得f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=（　　）

A．4023

B．-4023

C．8046

D．-8046

Answer 1

分析：函數（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），即x₁+x₂=2時，總有f（x₁）+f（x₂）=-4，再利用倒序相加，即可得到結論．

解答：解：由題意可知要求f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)的值，
易知

1

2012

+

4023

2012

=

2

2012

+

4022

2012

=…=2，
所以函數（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），
即x₁+x₂=2時，總有f（x₁）+f（x₂）=-4
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)+f（

4023

2012

）+…+f（

2

2012

）+f（

1

2012

）=-4×4023
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=-8046
故選D．

點評：本題考查函數的對稱性，確定函數的對稱中心，利用倒序相加x₁+x₂=2，是解題的關鍵．