Question

在數列{a_n}和{b_n}中，an=an，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當a=2，b=

2

時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a₁=b₁，可得b=-1，利用a₂＜b₂，a≥2，可得a=2，從而可求數列{b_n}的通項與前n項和；
（Ⅱ）設數列{b_n}中的任意三項能構成等比數列，不妨設b_x，b_y，b_z（0≤x＜y＜z≤n）為任意三項成等比數列，所以b_y ² =b_x•b_z，即3y2-3xz-(x+z-2

2

y)

2

=0，從而3y2-3xz=0，x+z-2

2

y=0，結合0≤x＜y＜z≤n，且x、y、z為整數，即可知當a=2，b=

2

時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列．

解答：（Ⅰ）解：∵a₁=b₁，∴a=a+1+b，∴b=-1
∵a₂＜b₂，∴a²＜2a+1
∴1-

2

＜a＜1+

2

∵a≥2，∴a=2
∴b_n=（a+1）n+b=3n-1
∴數列{b_n}的前n項和為

n(2+3n-1)

2

=

3

2

n2+

n

2

；
（Ⅱ）證明：當a=2，b=

2

時，b_n=（a+1）n+b=3n+

2

設數列{b_n}中的任意三項能構成等比數列，不妨設b_x，b_y，b_z（0≤x＜y＜z≤n）為任意三項成等比數列，
則b_y ² =b_x•b_z，即（3y+

2

）²=（3x+

2

）•（3z+

2

），化簡得3y2-3xz-(x+z-2

2

y)

2

=0
∴3y2-3xz=0，x+z-2

2

y=0
∴x²-6xz+z²=0
∵0≤x＜y＜z≤n，且x、y、z為整數，
∴此方程無整數解．
故當a=2，b=

2

時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的綜合，考查數列求和，考查反證法思想．