Question

（12分）已知動圓M過定點F（0，﹣），且與直線y=相切，橢圓N的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F，點A（1，）在橢圓N上．

（1）求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程；

（2）若動直線l與軌跡Γ在x=﹣4處的切線平行，且直線l與橢圓N交于B，C兩點，試求當△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

 

Answer 1

（1）．；（2）y=x±2．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線定義得，點M的軌跡是以F（0，﹣）為焦點，直線y=為準線的拋物線，由此可得軌跡Γ的方程；設出橢圓方程，利用點A（1，）在橢圓N上，可得橢圓N的方程；

（2）設出切線方程，代入橢圓方程，求得|BC|，點A到直線的距離，表示出面積，利用基本不等式，即可求得△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

【解析】
（1）過圓心M作直線y=的垂線，垂足為H．

由題意得，|MH|=|MF|，由拋物線定義得，點M的軌跡是以F（0，﹣）為焦點，直線y=為準線的拋物線，

其方程為．

設橢圓方程為，將點A代入方程

整理得a4﹣5a2+4=0，解得a2=4或a2=1（舍去）

故所求的橢圓方程為；

（2）軌跡Γ的方程為，即，則，所以軌跡軌跡Γ在x=﹣4處的切線斜率為k=，

設直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程整理得4x2+2mx+m2﹣4=0

因為△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2；

設B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1x2=

所以BC|=×=×

∵點A到直線的距離為d=，所以S△ABC=×××=≤

當且僅當，即m=±2時等號成立，此時直線l的方程為y=x±2．