Question

【題目】某商場柜臺銷售某種產品，每件產品的成本為10元，并且每件產品需向該商場交a元（3≤a≤7）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（20≤x≤25）時，一天的銷售量為（x﹣30）2件． （Ⅰ）求該柜臺一天的利潤f（x）（元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該柜臺一天的利潤f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣30）2（x﹣10﹣a），20≤x≤25 （Ⅱ）f'（x）=2（x﹣30）（x﹣10﹣a）+（x﹣30）2=（3x﹣2a﹣50）（x﹣30）．
令f'（x）=0，則 或x=30，
∵
∴①若 ，即3≤a≤5時，f'（x）≤0，x∈[20，25]，
∴f（x）在[20，25]上是減函數．
∴ =100（10﹣a）=1000﹣10a
②若5＜a≤7時，
當 時，f'（x）＞0，此時f（x）在 是增函數；
當 時，f'（x）＜0，此時f（x）在 是減函數．
∴ =
∴當3≤a≤5時，售價為20元時利潤最大，最大利潤g（a）為1000﹣10a；
當5＜a≤7時，售價為 元時利潤最大，最大利潤g（a）為
【解析】（Ⅰ）求出每件產品的利潤，乘以價格得到利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；（Ⅱ）求出利潤函數的導函數，由a的范圍得到導函數零點的范圍，分類討論原函數在[9，11]上的單調性，并求出a在不同范圍內的利潤函數的最值．