Question

【題目】已知函數 (其中， ).

(1)若函數在上為增函數，求實數的取值范圍；

(2)當時，求函數在上的最大值和最小值；

(3)當時，求證：對于任意大于1的正整數，都有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）最大值是 ，最小值是0；（3）證明見解析 .

【解析】試題分析：（1）先求出函數的導數，由題意可知：當時， 恒成立，解出的取值范圍即可；（2）求導函數，確定函數的單調性，比較端點的函數值，即可求得結論；（3）利用（2）的結論，只要令，利用放縮法證明即可.

試題解析：(1) ，

函數在上為增函數， 對任意恒成立. 對任意恒成立，即對任意恒成立. 時， ， 所求正實數的取值范圍是.

(2)當時， ， 當時， ，故在上單調遞減； 當時， ，故在上單調遞增；

在上有唯一的極小值點，也是最小值點，

又因為， ，

，

所以在上有的最大值是

綜上所述， 在上有的最大值是，最小值是0

(3)當時， ， ，故在上是增函數.

當時，令，則當時，

所以，即

所以

對于任意大于1的正整數，都有.