Question

如圖，已知多面體ABCDE中，DE⊥平面DBC，DE∥AB，BD=CD=BC=AB=2，F為BC的中點．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點D到平面EBC的距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的性質，得到線線垂直，再利用線面垂直的判定，可得DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明平面DEF⊥平面EBC，連接EF，過D作DH⊥EF，垂足為H，可得線段DH的長即為點D到平面EBC的距離，表示出DH，即可確定其范圍．

解答：（Ⅰ）證明：∵DE⊥平面DBC，DE∥AB，∴AB⊥平面DBC，
∵DF?平面DBC，∴AB⊥DF
∵BD=CD=BC=2，F為BC的中點
∴DF⊥BC
又∵AB∩BC=B
∴DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：設DE=x，連接BE，則x＞0
∵DE⊥平面DBC，BC?平面DBC，∴DE⊥BC
∵DF⊥BC，DE∩DF=D
∴BC⊥平面DEF
∵BC?平面ABC
∴平面DEF⊥平面EBC
連接EF，過D作DH⊥EF，垂足為H，
則DH⊥平面EBC，線段DH的長即為點D到平面EBC的距離
在直角△DEF中，DE=x，DF=

3

2

BC=

3

，∴EF=

3+x2

∴DH=

3 x

3+x2

=

3

1+ 3 x2

∈（0，

3

）．

點評：本題考查線面垂直的性質與判定，考查點面距離的計算，屬于中檔題．