Question

【題目】在棱長為的透明密閉的正方形容器中，裝有容器總體積一半的水（不計容器壁的厚度），將該正方體容器繞旋轉，并始終保持所在直線與水平平面平行，則在旋轉過程中容器中水的水面面積的最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設點在上，點在上，滿足，則原問題等價于求解四邊形的最大值.建立空間直角坐標系，結合二次函數的性質可得旋轉過程中容器中水的水面面積的最大值.

如圖所示，在棱長為的正方體中，

點在上，點在上，滿足，

則原問題等價于求解四邊形的最大值.

作于點，當最大時，四邊形有最大值.

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，設，

由于，由可得：

，則：，故,

故：，

由可得：.

故： ，

結合二次函數的性質可知：當或時，取得最大值，此時取得最大值，最大值為：.