Question

【題目】已知函數

（1）討論的極值點的個數；

（2）若有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且求的最小值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導數得，當通過討論判別式與0的關系，得函數單調性，由單調性即可得函數的極值問題；（2）有兩個極值點可知為方程的兩個根，用表示出為，令，構造函數求導判單調性即可得到最值.

（1）法一：由題意得，

令，即。.

①當，即時，對任意恒成立，即對任意恒成立，此時沒有極值點。

②當，即或時。

若，設方程的兩個不同實根為，不妨設，

則，

故，

當或時，；

當時，，

故是函數的兩個極值點。

若，設方程的兩個不同實根為，

則，故。

當時，，故函數沒有極值點。

當時，函數沒有極值點。

法二：，

。.

①當，即時，對任意恒成立，在上單調遞增，沒有極值點。.

②當，即時，有兩個不等正實數解，設為，

。

不妨設，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以分別為的極大值點和極小值點。

故有兩個極值點。.

綜上所述，當時，沒有極值點，

當時，有兩個極值點。

（2）由題意知，，

則易知為方程的兩個根，且，

所以

記，由且知，

則，

記，

則，

故在上單調遞減。

由知，

從而，即，

故，結合，解得，

從而的最小值為，

即的最小值為。