Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分.）
如題（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：

（Ⅰ）求點P的軌跡方程;
（Ⅱ）設d為點P到直線l：的距離，若,求的值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義及轉化與化歸的數學思想，同時考查了學生的運算能力。
（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線.
因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=,
所以雙曲線的方程為
(II)解法一：
由（I）及答（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,      ①
知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|="|PN|+2.    " ②
將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以
|PN|=.
因為雙曲線的離心率e==2,直線l:x=是雙曲線的右準線，故=e=2,
所以d=|PN|,因此

解法二：

設P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,
故P在雙曲線右支上，所以x1.
由雙曲線方程有y²=3x²-3.
因此

從而由|PM|=2|PN|²得
2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.
所以x=(舍去).
有|PM|=2x+1=
d=x-=.
故