Question

（選做） 
設關于x的二次函數f(x)=anx2-6an+1x+2(n∈N*)的圖象與x軸交于兩點（α，0），（β，0），且滿足α-αβ+β=3．
（I）試用a_n表示a_n+1；
（II）當a₁=

7

6

時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）根據韋達定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

，代入α-αβ+β=3．即可得出用a_n表示a_n+1的關系式．
（II）由（I）求出an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)，構造出數列{an-

2

3

}是公比為

1

2

的等比數列，通過求出數列{an-

2

3

}的通項公式求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（I）根據韋達定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

由α-αβ+β=3
得6•

an+1

an

-

2

an

=3
故an+1=

1

2

an+

1

3

（3分）
（II）因為an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)
所以

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

所以數列{an-

2

3

}是公比為

1

2

的等比數列（8分）
因為當a1=

7

6

時，a1-

2

3

=

1

2

所以數列{an-

2

3

}的通項公式an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1
故數列{a_n}的通項公式為an=

2

3

+

1

2n

（10分）

點評：本題主要考查數列的遞推公式、通項公式求解，考查轉化構造、推理計算能力．