Question

如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為

3

米（將眼睛距地面的距離SA按

3

米處理）．
（1）求攝影者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在S與立柱所在的平面內旋轉．在彩桿轉動的任意時刻，攝影者觀察彩桿MN的視角∠MSN（設為θ）是否存在最大值？若存在，請求出∠MSN取最大值時cosθ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=

3

，在Rt△SAB中，由三角函數的定義可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函數的定義可求OC，進而可求OB
（2）以O為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系．設M（cosα，sinα），α∈[0，2π），則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S(3，-

3

)．，利用向量的數量積的坐標表示可求cos∠MSN=

SM • SN

| SM |•| SN |

∈[

11

13

，1]，結合余弦函數的性質可求
另解：由題意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，結合余弦定理可得

MO2+SO2-SM2

2MO•SO

=-

NO2+SO2-SN2

2NO•SO

，則有SM²+SN²=26可求cosθ范圍

解答：解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=

3

，故在Rt△SAB中，可求得BA=

SA

tan30°

=3，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=

3

，
又BC=SA=

3

，故OB=2

3

，即立柱的高度為2

3

米．…（6分）
（2）如圖，以O為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐
標系．設M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S(3，-

3

)．…（8分）
故

SM

=(cosα-3，sinα+

3

)，

SN

=(-cosα-3，-sinα+

3

)，

∵SM

•

SN

=(cosα-3)(-cosα-3)+(sinα-3)(-sinα-3)=11（10分）|

SM

|•|

SN

|=

(cosα-3)2+(sinα+ 3 )2

•

(-cosα-3)2+(-sinα+ 3 )2

=

13-(6cosα-2 3 sinα)

•

13+(6cosα-2 3 sinα)

=

169-[4 3 cos(α+ π 6 )2

=

169-48cos2(α+ π 6 )

由α∈[0，2π）知

|SM

|•|

SN

|∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN=

SM • SN

| SM |•| SN |

∈[

11

13

，1]，易知∠MSN為銳角，
故當視角∠MSN取最大值時，cosθ=

11

13

．…（13分）
另解：∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴

MO2+SO2-SM2

2MO•SO

=-

NO2+SO2-SN2

2NO•SO

于是    得SM²+SN²=26
從而cosθ=

SM2+SN2-MN2

2SM•SN

≥

SM2+SN2-MN2

SM2+SN2

=

11

13

點評：本題考查的是解三角形的應用，解題的 關鍵是準確理解基本概念：仰角俯角問題，熟知銳角三角函數的定義及正弦、余弦定理．