Question

已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各兩個交點，分別為和．
（1）求的斜率的取值范圍；    （2）若，求的方程．

Answer 1

（1）  
（2）時，：：；
時，：：

（1）依題設，的斜率都存在，因為過點且與雙曲線有兩具交點，故方程組
          ①
有兩組不同實根，在方程①中消去，整理得
         ②
若，則方程組①只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設矛盾．故即．方程②的判別式為
．
設的斜率為，因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組
     ③
有兩個不同的解．在方程組③中消去，整理得
         ④
類似前面的討論，有．
因為，所以，于是，與雙曲線各有兩個交點，等價于下列混合組成立
，解得．
故．
（2）設，則（1）的解答中方程②知

所以
　             ⑤
同理可得             ⑥
由，得．
將⑤，⑥代入上式得，
解得      ．
取時，：：；
即時，：：．