Question

如圖，為圓的直徑，為圓周上異于、的一點，垂直于圓所在的平面，于
點，于點.
（1）求證：平面；
（2）若，，求四面體的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：(1)利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全,證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；(2)利用棱錐的體積公式求體積.(3)證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化.(4)在求三棱柱體積時，選擇適當的底作為底面，這樣體積容易計算.
試題解析：(1）證明：∵BC為圓O的直徑 ∴CD⊥BD 
∵AB⊥圓O所在的平面 ∴AB⊥CD  且ABBD=B
∴CD⊥平面ABD     
又∵BF平面ABD  ∴CD⊥BF 
又∵BF⊥AD  且ADCD="D"
∴BF⊥平面ACD        6分
（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=
∵BE⊥AC ∴E為AC中點 
又∵CD⊥平面ABD
∴E到平面BDF的距離為 
在Rt△ABD中，由于BF⊥AD  得
∴ 
∴       13分
法二：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=
∵BE⊥AC ∴E為AC中點 ∴E到邊AD的距離為 
在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得
  ，由（1）知BF⊥平面DEF
∴       13分
考點：(1）直線與平面垂直的判定；（2）求四面體的體積.