Question

【題目】已知橢圓：的兩個焦點分別為和，短軸的兩個端點分別為和，點在橢圓上，且滿足，當變化時，給出下列三個命題：

①點的軌跡關于軸對稱；②的最小值為2；

③存在使得橢圓上滿足條件的點僅有兩個，

其中，所有正確命題的序號是__________．

Answer 1

【答案】①②

【解析】分析：運用橢圓的定義可得也在橢圓上，分別畫出兩個橢圓的圖形，即可判斷①正確；由圖象可得當的橫坐標和縱坐標的絕對值相等時，的值取得最小，即可判斷②正確；通過的變化，可得③不正確.

詳解：

橢圓的兩個焦點分別為

和，

短軸的兩個端點分別為和，

設，點在橢圓上，

且滿足，

由橢圓定義可得，，

即有在橢圓上，

對于①，將換為方程不變，

則點的軌跡關于軸對稱，故①正確.；

對于②，由圖象可得，當滿足，

即有，

即時，取得最小值，

可得時，

即有取得最小值為，故②正確；

對于③，由圖象可得軌跡關于軸對稱，且，

則橢圓上滿足條件的點有個，

不存在使得橢圓上滿足條件的點有個，故③不正確.

，故答案為①②.