Question

A、B是單位圓O上的動點，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點，△AOB 為等腰直角三角形．記∠AOC=α．
（1）若A點的坐標為（

3

5

，

4

5

），求 

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（2）求|BC|²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由任意角的三角函數的定義求出cosα和sinα，代入所求的式子進行運算．
（2）由題意得 C（1，0），OB直線的傾斜角為α+90°，求出點B坐標，利用兩點間的距離公式計算|BC|² 的值，
根據α的范圍求出sinα的范圍，進而得到|BC|²的取值范圍．

解答：解：（1） 由題意得 cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，∴

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

3cos2α-1

=

16 25 +2• 4 5 • 3 5

3• 9 25 -1

=

40 25

2 25

=20．
（2）由題意得 C（1，0），OB直線的傾斜角為α+90°，故點B的坐標為（cos（α+90°），sin（α+90°）），
點B （-sinα，cosα）．∴|BC|² =（1+sinα）²+（0-cosα）²=2+2sinα．
∵0＜α＜

π

2

，∴0＜sinα＜1，0＜2sinα＜2，2＜2+2sinα＜4，
即|BC|²的取值范圍為（ 2，4）．

點評：本題考查任意角的三角函數的定義、同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩點間的距離公式得應用，
求點B的坐標是解題的難點和關鍵．