Question

已知函數f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（I）函數f(x)=6-

3

2

a+(3-a)sinx-

1

2

acos2x
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，則有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
對稱軸t=

1

2

-

3

2a

當0＜a＜3時，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]遞增，
所以當t=0時，函數最小值為-2a+6；
當a≥3時，t=

1

2

-

3

2a

∈[0，1]，，所以當t=

1

2

-

3

2a

函數有最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

總之，函數的最小值為
當0＜a＜3時，最小值為-2a+6；
當a≥3時，最小值

9

4a

-

7a

4

-

3

2

．
（II）因為x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，
等價于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個不同的解，
所以

-1≤ 1 2 - 3 2a ≤1 3≥0 9-2a≥0

，
解得1≤a≤

9

2

．