Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2）．設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

Answer 1

（1）由題意，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，∴b=

2

2

=

2

．
因為離心率e=

c

a

=

3

2

，所以

b

a

=

1

2

，所以a=2

2

．
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）證明：由題意可設M，N的坐標分別為（x₀，y₀），（-x₀，y₀），則直線PM的方程為y=

y0-1

x0

x+1，①
直線QN的方程為y=

y0-2

-x0

x+2．②…（8分）
設T（x，y），聯立①②解得x₀=

x

2y-3

，y₀=

3y-4

2y-3

．…（11分）
因為

x02

8

+

y02

2

=1，所以

1

8

（

x

2y-3

）²+

1

2

（

3y-4

2y-3

）²=1．
整理得

x2

8

+

(3y-4)2

2

=（2y-3）²，所以

x2

8

+

9y2

2

-12y+8=4y²-12y+9，即

x2

8

+

y2

2

=1．
所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．…（14分）