Question

已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，當mn取得最小值時，直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交點個數為______．

Answer 1

由均值不等式
1=

1

m

+

2

n

≥2

1 m • 1 n

，
當且僅當

1

m

=

2

n

時等號成立，
也就是

1

m

=

2

n

=

1

2

，
所以m=2，n=4．
∵

x|x|

m

+

y|y|

n

=1，
∴

x|x|

2

+

y|y|

4

=1．
①當x＞0，y＞0，
表示

x2

2

+

y2

4

=1的橢圓；
②當x＞0，y＜0，
表示

x2

2

-

y2

4

=1以x軸為實軸的雙曲線；
③當x＜0，y＞0，
表示

y2

4

-

x2

2

=1以y軸為實軸的雙曲線；
④當x＜0，y＜0，
表示-

x2

2

-

y2

4

=1，
因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，
所以此時無解．
所以如圖得到圖象，
結合圖象知直線y=-

2

x+2與曲線

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交點個數是2個．
故答案為：2．