Question

【題目】已知函數f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．

（1）若1是關于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一個解，求t的值；

（2）當0＜a＜1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) t＝﹣2 (2) t≥1

【解析】

（1）由f（1）﹣g（1）＝0，即可求得t的值；

（2）當0＜a＜1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立t2x（x∈[0，15]）恒成立，令u（x∈[0，15]），則u∈[1，4]，通過配方法可求得2x的最大值，從而解決問題.

解：（1）由題意得f（1）﹣g（1）＝0，

即loga2＝2loga（2+t），解得t＝﹣2

（2）當0＜a＜1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，

即loga（x+1）≥loga（2x+t）（x∈[0，15]）恒成立，

它等價于2x+t（x∈[0，15]），即t2x（x∈[0，15]）恒成立

令u（x∈[0，15]），則u∈[1，4]，x＝u2﹣1，

2x＝﹣2（u2﹣1）+u＝﹣2，當u＝1時，2x的最大值為1，

∴t≥1