Question

在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）若BD=2DC，求

BD

（用

a

，

b

表示）；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，AD⊥BC，

BD

=λ

BC

求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的線性運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）

BD

=λ

BC

，可得

BC

•

BD

=λ

BC

²，進(jìn)而可得λ=

a 2- b • a

b 2-2 b • a + a 2

，從而可求實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：（1）由題意，

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

2

3

BC

=

AB

+

2

3

(

AC

-

AB

)=

1

3

AB

+

2

3

AC

=

1

3

a

+

2

3

b

；
（2）∵

BD

=λ

BC

，∴

BC

•

BD

=λ

BC

²，
∴

BC

•（

AD

-

AB

）=λ

BC

²，
∵AD⊥BC，∴-

BC

•

AB

=λ(

AC

-

AB

)2
∴-(

AC

-

AB

)•

AB

=λ(

AC

-

AB

)2
∴

a

2-

b

•

a

=λ(

b

2-2

b

•

a

+

a

2)
∴λ=

a 2- b • a

b 2-2 b • a + a 2

∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
∴λ=

4-2cos120°

1-2×2×cos120°+4

=

5

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．