Question

設函數y=f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸的交點為P點，曲線在點P處的切線方程為12x-y-4=0．若函數在x=2處取得極值0，則函數的單調減區間為

（1，2）

．

Answer 1

分析：根據切點既在切線上又在函數f（x）的圖象上，即可求出d，根據導數的幾何意義可知函數在x=0處的導數即為切線的斜率，求出c，再根據函數在x=2處取得極值0，建立f'（2）=0，f（2）=0，求出a和b，從而求出函數f（x）的解析式，最后解不等式fˊ（x）＜0即可求出函數的單調減區間．

解答：解：∵點P在切線12x-y-4=0上，∴P（0，-4），∴d=-4．
f'（x）=3ax²+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x³-9x²+12x-4，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
令fˊ（x）=6（x-1）（x-2）＜0⇒1＜x＜2．
∴f（x）的單調遞減區間是（1，2）．
故答案為：（1，2）

點評：考查學生會利用待定系數法求函數解析式，會求函數的導函數并會根據導數表示直線的斜率，利用導數研究函數的單調性，考查運算求解能力，屬于基礎題．