Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，A（0，b），且

F1A

•

F2A

=-2過左焦點F₁作直線l交橢圓于P₁、P₂兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的傾斜角a∈[

π

3

，

2π

3

]，直線OP₁，OP₂與直線x=-

4 3

3

分別交于點S、T，求|ST|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積公式，結合離心率，即可求得橢圓方程；
（2）確定直線OP₁、OP₂的方程，求出S，T的坐標，可得|ST|，結合m的范圍，即可得到結論．

解答：解：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），則
由

F1A

•

F2A

=-2得b²-c²=-2
∵e=

c

a

=

3

2

∴a²=4，b²=1，c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設直線l的方程為x=my-

3

∵傾斜角α∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴m∈[-

3

3

，

3

3

]
則P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的坐標軸滿足方程組

x2 4 +y2=1 x=my- 3

∴（m²+4）y²-2

3

my-1=0
∴y1+y2=

2 3 m

m2+4

，y1y2=-

1

m2+4

∴x₁x₂=4×

3-m2

m2+4

由P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），得直線OP₁、OP₂的方程為y=

y1

x1

x、y=

y2

x2

x
∴點S、T的坐標為S（-

4 3

3

，-

4 3

3

y1

x1

），T（-

4 3

3

，-

4 3

3

y2

x2

）
∴|ST|=

4 3

3

|

y1

x1

-

y2

x2

|=

4 m2+1

3-m2

令

m2+1

=t
∵m∈[-

3

3

，

3

3

]
∴t∈[1，

2 3

3

]
∴|ST|=

4t

4-t2

∈[

4

5

，

3

]．

點評：本題考查向量知識的運用，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．