Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C₁：

x2

4

+y²=1和C₂：

x2

16

+

y2

4

=1，判斷C₂與C₁是否相似，如果相似則求出C₂與C₁的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓C_b上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

分析：（1）橢圓C₂與C₁相似．先求得橢圓C₂與橢圓C₁的特征三角形的腰長和底邊長，可發現兩特征三角形相似，進而可判斷兩橢圓相似．
（2）先假設存在，得到點M，N的直線方程和中點坐標，然后聯立橢圓和直線消去y得到關于y的一元二次方程，根據韋達定理可得到兩根之和，即得到MN中點x₀的值，代入到直線可確定y₀的值，再由MN的中點在直線上可求得t的值．

解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似．
因為C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為2

3

的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為

3

的等腰三角形，
因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1
（2）假定存在，則設M、N所在直線為y=-x+t，MN中點為（x₀，y₀）．
則

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

∴5x²-8xt+4（t²-b²）=0．
所以x₀=

x1+x2

2

=

4t

5

，y₀=

t

5

．
中點在直線y=x+t上，所以有t=-

5

3

．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質的簡單應用和直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線是高考的重點問題，經常以壓軸題的形式出現，一定要引起重視．